İntegral

İntegral namey leteo ke binê fonksiyoni de ca geno. Seba fonksiyonê deriativ vıraştış asêniye dano.

Qısımo ke binê fonksiyon dero u herfa S ra nusiyao , İntegralo

Formulê cı

$F(x)=\int f(x)+c,$ o. Raya Limiti ra formulê ho u pêrokerdışê Riemanni ;

$S=\lim _{\Delta x\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(x_{i})\Delta x_{i}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Metodê integral-gırewtışi

Seba integral grotışi raya tewr asêni varyan vurnayışo; Bin de jü polinome esto u eno polinome 6. derece rao. Eno polinom ebe fonksiyonê basiti ra çozkerdene mumkın niyo. Na riye ra varyant vurnayış seba çozkerdene asêniye dano:

$x^{6}-9x^{3}+8=0.\,$

Ena denkleme de x³ = u ebe vurnayışê varyanti denlkem bin de ma nuseni ;

$u^{2}-9u+8=0\,$

Ena raya ra denklem derecey 2. ra biya. Rıstımê enay denkleme ;

$u=1\quad {\mbox{ve}}\quad u=8'dir.$

Ebe ena vurnayışo newa ra netıcey varyantê esasi de cay ho ra bınusi ;

$x^{3}=1\quad {\mbox{ve}}\quad x^{3}=8\quad \Rightarrow \qquad x=(1)^{1/3}=1\quad {\mbox{ve}}\quad x=(8)^{1/3}=2.\,$

İntegralê fonksiyonê basiti

Fonksiyonê rasyonali

$\int dx=x+C$

$\int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ eğer }}n\neq -1$

$\int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C$

Fonksiyonê irrasyonali

$\int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C$

$\int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C$

$\int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec {|x| \over a}+C$

Fonksiyonê logaritmiki

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C,$

$\int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C$

Fonskyionê ke serê cı esto

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

$\int a^{ln(x)}\,dx=\int x^{ln(a)}\,dx={\frac {x\,a^{ln(x)}}{\ln {a}+1}}+C={\frac {x\,x^{ln(a)}}{\ln {a}+1}}+C$

Fonksiyonê trigonometriki

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C$

Fonksiyonê hiperboliki

$\int \sinh x\,dx=-\,coshx+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

$\int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C$

Fonksiyonê hiperbolikio ters

$\int \operatorname {arcsinh} x\,dx=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$

$\int \operatorname {arccosh} x\,dx=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C$

$\int \operatorname {arctanh} x\,dx=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C$

$\int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\operatorname {arccsch} x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C$

$\int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\operatorname {arcsech} x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C$

$\int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C$